PAU Matemàtiques 2022 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 6

6. La columna de l’esquerra de la taula següent mostra l’esquema d’un programa informàtic que s’ha elaborat per a trobar solucions aproximades d’una equació f(x) = 0 en un interval (a, b), sabent que f(a) · f(b) < 0. La columna de la dreta recull un exemple de funciona­ ment del programa en què es pot veure com actuaria per trobar una solució de l’equació x + ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2. Esquema del programa Exemple 1.  Escriure «Introduïu un valor a» L’usuari introdueix a = 0,5 2.  Escriure «Introduïu un valor b» L’usuari introdueix b = 2 3.  Escriure «Introduïu una funció f(x)» L’usuari introdueix f(x) = x + ln(x) 4.  Calcular c = (a + b)/2 El programa calcula la mitjana entre a i b i li assigna el nom c = (0,5 + 2)/2 = 1,25 5.  Si f(a) * f(c) < 0, aleshores reassignar b = c; en cas El programa comprova que f(0,5) * f(1,25) = (0,5 + ln(0,5)) * contrari, reassignar a = c (1,25 + ln(1,25)) < 0; per tant, reassigna b = 1,25 6.  Repetir els passos 4 i 5 tants cops com faci falta fins El programa va repetint la comprovació anterior, que f(a) – f(b) < 0,00000001 canviant cada vegada els valors de a o de b: a b inici 0,5 2 iteració 1 0,5 1,25 iteració 2 0,5 0,875 iteració 3 0,5 0,6875 iteració 4 0,5 0,59375 iteració 5 0,546875 0,59375 iteració 6 0,546875 0,5703125 iteració 7 0,55859375 0,5703125 […] 7.  Quan f(a) – f(b) < 0,00000001, escriure: «La solució Després d’unes 30 iteracions, el programa escriu: «La de l’equació és c» i aturar el programa solució de l’equació és 0,56714329» a) Expliqueu per què aquest programa és capaç de trobar una solució aproximada de l’equació x + ln(x) = 0 entre els valors a = 0,5 i b = 2. [1,25 punts] b) Volem aplicar aquest programa per a trobar les tres arrels de f(x) = x3 – 3x2 + 1 amb valors de a i b diferents. Trobeu justificadament entre quins valors a i b, per a cada arrel, hem d’aplicar el programa per a trobar aproximacions de cadascuna de les tres arrels de la funció. [1,25 punts]

a) Per a que el programa pugui trobar una solució a una equació f(x) = 0 entre a i b cal que la funció f(x) compleixi el teorema de Bolzano, és a dir que la funció sigui contínua en [a, b] i que f(a) i f(b) siguin de signe diferent, és a dir que f(a)·f(b) < 0. En aquest cas el teorema de Bolzano ens assegura l’existència d’una arrel dins l’interval (a, b). En l’exemple concret en el que s’ha aplicat el programa, podem veure que la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥+ 𝑙𝑛(𝑥) és contínua en l’interval [0,5, 2] ja que és la suma de dues funcions contínues en aquest interval, concretament una funció polinòmica de primer grau i la funció logarítmica que és contínua en tot el seu domini 𝐷𝑜𝑚(𝑙𝑛(𝑥)) = (0, +∞). Veiem també què 𝑓(0,5) · 𝑓(2) = (0,5 + 𝑙𝑛(0,5)) · (2 + 𝑙𝑛(2)) < 0 la qual cosa demostra que existeix una solució de l’equació en [0,5, 2]. El que fa el programa és trobar el punt mig c entre els valors a i b, i buscar en quin interval canvia de signe la funció; si ho fa a l’interval [a, c] el que fa és prend […]