PAU Matemàtiques 2008 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 6

6. Les rectes i són coplanàries (és a dir, estan incloses en un mateix pla). a) Expliqueu, raonadament, quina és la posició relativa d’aquestes rectes. b) Trobeu la relació que hi ha entre els paràmetres a i b. c) Trobeu els valors de a i b si el pla que les conté passa pel punt P = (2, 4, 6). [1,5 punts per lʼapartat a; 1 punt per lʼapartat b; 1,5 punts lʼapartat c]

6.- Les rectes 1 : = = i 2 : = = són coplanàries (és a dir, r r 2 1 4 1 2 − 1 estan incloses en un mateix pla). a) Expliqueu, raonadament, quina és la seva posició relativa. b) Trobeu la relació que hi ha entre els paràmetres a i b . P = c) Trobeu els valors de a i b si el pla que les conté passa pel punt (2,4,6) . PUNTUACIÓ: apartat a) 1.5 punts; apartat b) 1punt; apartat c) 1.5 punts. Solució: a) Dues rectes coplanàries han de tallar-se o ser paral·leles. Com que els vectors directors corresponents no són proporcionals (2/1 ≠ 1/ 2 ), sigui quin sigui el valor del paràmetre a , és evident que es tallen en un punt. b) Sigui Q el punt on es tallen. Llavors, per ser d’ambdues rectes, = + λ λ −+ λ = −+ μ + μ − μ ( 2 , , 1 4 ) ( 2 , 2 ,4 ) . Q a b El sistema que ens queda, ⎧ 2 λ − μ = −− ⎪⎪⎪⎪ a λ − 2 μ = ⎨⎪⎪ b λ + μ = ⎪⎪⎩ 4 5 ha de ser compatible determinat. Treballant amb la matriu ampliada del sistema obtenim ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 − 2 1 − 2 1 − 2 b b b ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ − −− ⎟ […]