PAU Matemàtiques 2008 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 5

PROBLEMES 5. Donades les funcions i : a) Comproveu que [g(x)]2 – [f(x)]2 = 1. b) Comproveu també que f′(x) = g(x) i g′(x) = f(x). c) Comproveu que f(x + y) = f(x) · g(y) + f(y) · g(x). dividint per ex el numerador i el denominador; amb un pro- d) Calculeu cediment similar (però no igual), trobeu . [1 punt per cada apartat]

PROBLEMES − − − + x x x x e e e e = = 5.- Definim les funcions ( ) i ( ) . f x g x 2 2 2 2 a) Comproveu que [ ] − [ ] = . ( ) ( ) 1 g x f x = = b) Comproveu també que '( ) ( ) i '( ) ( ) . f x g x g x f x c) Comproveu que ( + = ⋅ + ⋅ . ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x y f x g y f y g x ( ) f x d) Calculeu lim dividint per e el numerador i el denominador; amb un x ( ) →∞ g x x ( ) f x procediment similar (però no igual), trobeu lim . ( ) →−∞ g x x PUNTUACIÓ: 1 punt cada apartat. a) Es tracta simplement de fer les operacions indicades, 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − + − x x x x e e e e ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 2 [ ( ) ] − [ ( ) ] = ⎟ − ⎟ g x f x ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 − − 2 2 − − 2 − x + 2 x x + x x − 2 x x + x 4 x x 4 1 ⋅ e e e e e e e e e = − = = = 1 4 4 4 4 b) Recordant les propietats de la derivada, tenim ⎡ − ⎤ − − − x − x ( x − x ) x − x ⋅− ( 1) x + x e e D e e e e e e ⎢ ⎥ • ( ) = = = = = ( ) Df x D g x ⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ − − − − x + x ( x + x ) x + x ⋅− ( 1) x − x e e D e e e e e e ⎢ ⎥ • ( ) = = = = = ( ) Dg x […]