PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 6

6. A l’espai es consideren els tres plans d’equacions: 1: x + 2y + z = 1, 2: px + y + pz = 1 i 3: px + y + 2z = 1, on p és un paràmetre real. a) Esbrineu per a quins valors de p els tres plans es tallen en un únic punt. Trobeu aquest punt quan p = 1. b) Hi ha algun valor de p que faci que la intersecció comuna sigui una recta? Si és així, escriviu l’equació vectorial d’aquesta recta. c) Trobeu quina és la posició relativa dels tres plans quan p = 1/2. [2 punts lapartat a, 1 punt lapartat b, 1 punt lapartat c] Proves daccés a la Universitat. Curs 2006-2007 Matemàtiques

6.- A l’espai es consideren els tres plans d’equacions respectives: π + + = , π + + = π + + = on p és un paràmetre 1 : 2 1 2 : 1 3 : 2 1 i x y z px y pz px y z real. a) Esbrineu per a quins valors de p els tres plans es tallen en un únic punt. Trobeu = 1 aquest punt quan . p b) Hi ha algun valor de p que faci que la intersecció comuna sigui una recta? Si és així, escriviu l’equació vectorial d’aquesta recta. p = 1/ 2 c) Trobeu quina és la posició relativa dels tres plans quan . De fet, l’estudi demanat es pot fer a partir de la discussió del sistema format per les equacions dels tres plans. + + = ⎧ 2 1 x y z ⎪ + + = 1 ⎨ px y pz ⎪ + + = 2 1 px y z ⎩ En primer lloc, s’estudia el rang de la matriu ampliada. ⎛ 1 2 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 1 1 ⎞ ⎛ 1 2 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − 1 1 ∼ 0 1 2 0 1 ∼ 0 1 2 0 1 . p p p p p p ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − 1 2 1 0 1 2 2 1 0 0 2 0 ⎝ p ⎠ ⎝ p p p ⎠ ⎝ p ⎠ = 1/ 2 = 2 Llavors, la matriu de coeficients deixa de tenir rang 3 quan i . p p Es pot arribar a la mateixa co […]