PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

Calculeu els valors del paràmetre a, a 0, que fan que les tangents a la corba 3. d’equació y = ax4 + 2ax3 – ax + 1512 en els punts d’inflexió siguin perpendiculars. [2 punts]

3.- Calculeu els valors del paràmetre a , , que fan que les tangents a la corba a = 4 + 3 − + 2 1512 d’equació en els punts d’inflexió siguin perpendiculars. y ax ax ax Primerament es calculen les derivades primera i segona de la funció = 4 + 3 − + ( ) 2 1512 que defineix la corba donada. f x ax ax ax = 3 + 2 − = 2 + '( ) 4 6 ''( ) 12 12 a , ax . f x ax ax f x ax La condició de punt d’inflexió és que la derivada segona s’anul·li, 2 + = → + = 12 12 0 12 ( 1) 0 , ax ax ax x = 0 = −1 que proporciona les solucions i . En tots dos casos es pot comprovar que la x x derivada tercera no és nul·la i, per tant, corresponen a abscisses de punts d’inflexió. Els pendents de les rectes tangents en els punts d’inflexió valen '(0) = − '( 1) − = a i a . f f Si les rectes han de ser perpendiculars s’ha de verificar que el producte dels seus pendents valgui -1, és a dir −⋅ = −→ = ± 1 1 . a a a PUNTUACIÓ: 0.5 pel càlcul correcte de les dues derivades. 0.5 per l’obtenció de les abscisses dels punts d’infle […]