PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

PROBLEMES Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i un volum de 768 m3. Se 5. sap que la pèrdua de calor a través de les parets laterals val 100 unitats per m2, men- tre que a través del sostre és de 300 unitats per m2. La pèrdua pel sòl és molt petita i es pot considerar nul·la. Calculeu les dimensions del magatzem perquè la pèrdua de calor total sigui mínima. [4 punts]

PROBLEMES 5.- Un magatzem té forma de prisma recte de base quadrada i volum 768 m3. Se sap que la pèrdua de calor a través de les parets laterals val 100 unitats per m2, mentre que a través del sostre és de 300 unitats per m2. La pèrdua pel sòl és molt petita i es pot considerar nul·la. Calculeu les dimensions del magatzem per a què la pèrdua de calor total sigui mínima. Anomenem x al costat de la base i y a l’altura del magatzem. Llavors: • Pèrdues pels laterals: 400xy . • Pèrdues pel sostre: 300x . • Pèrdues totals: 400 + 300 x . xy 768 = Tenint en compte el valor del volum, , i això permet expressar les pèrdues com una y x funció de x. 307200 = + ( ) 300 . P x x x Derivant, igualant a zero i resolent s’obté 307200 = → − + = → = ⇒ = '( ) 0 600 0 512 8 . P x x x x x Finalment, es comprova que es tracta d’un mínim 2 307200 ⋅ ''( ) = + 600 → ''(8) > 0 . P x P x = 8 = 12 Per tot això, la solució és: m , m . x y 1 punt per plantejar el problema. 1 punt per expressar les pèrdues com a func […]