PAU Matemàtiques 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2

La funció derivada f (x) de certa funció contínua f: R R és una funció a trossos 2. formada per les semirectes del dibuix. a) Digueu si f(x) és derivable en tots els punts de R i per què. b) Estudieu el creixement i el decreixement de f(x). c) Trobeu si f(x) té algun extrem relatiu i, si és així, per a quin valor de x i de quin tipus. d) Sabent que f(0) = 1, calculeu el valor de f(1). Justifiqueu totes les respostes. [0,5 punts cada apartat] Calculeu els valors del paràmetre a, a 0, que fan que les tangents a la corba

'( ) : \ \ 2.- La funció derivada x de certa funció contínua és una funció a f f trossos formada per les semirectes del dibuix. a) Digueu si és derivable en tots els punts de \ i per què. b) Estudieu el creixement i el decreixement de f(x). c) Trobeu si f(x) té algun extrem relatiu i, si és així, per a quin valor de x i de quin tipus. = d) Sabent que (0) 1 , calculeu el valor de (1) . f f Justifiqueu totes les respostes. x = 1 a) La funció deixa de ser derivable quan ja que la derivada no està definida en aquest x = punt. Per tant, és derivable per a tots els reals excepte 1 . ∈−∞ b) La funció creix pels valors de x amb derivada positiva, és a dir, quan ( ,2) . Decreix x ∈ +∞ on la derivada és negativa, per tant, quan (2, ) . x x = 2 c) Per a la derivada val zero i la funció passa de créixer a decréixer; és a dir, per a aquest valor de x la funció té un màxim relatiu. x = x = 0 1 d) L’àrea sota la funció derivada des de fins a val 1 per tant ∫ = − = → = + = 0 '( ) (1) (0) 1 (1) 1 (0) 2 […]