PAU Matemàtiques 2006 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Considereu la recta { i el pla p: 2x – y + az + 2 = 0 on a és r : x – 3y – z – 2 = 0 un paràmetre. a) Trobeu un vector director de la recta i un vector perpendicular al pla. b) Quin ha de ser el valor de a per tal que la recta i el pla siguin paral·lels? c) Esbrineu si existeixen valors de a per als quals la recta i el pla siguin perpen- diculars. En cas afirmatiu, calculeu-los. d) Esbrineu si existeixen valors de a per als quals la recta i el pla formin un angle de 30º. En cas afirmatiu, calculeu-los. [Puntuació: cada apartat val 1 punt. Total: 4 punts]

− + + = 6. Considereu la recta : i el pla : 2 2 0 on a ⎨ p x y az r − 3 − − 2 = 0 ⎩ x y z és un paràmetre. a) Trobeu un vector director de la recta i un vector perpendicular al pla. b) Quin ha de ser el valor d’a perquè la recta i el pla siguin paral·lels. c) Esbrineu si existeixen valors d’a pels quals la recta i el pla siguin perpendiculars. En cas afirmatiu calculeu-los. d) Esbrineu si existeixen valors d’a pels quals la recta i el pla formin un angle de 30º. En cas afirmatiu calculeu-los. a) La recta es pot expressar en forma paramètrica com = −− + − : ( , , ) ( 1, 1,0) (2,1, 1) r x y z t . G = − (2,1, 1) Així, un vector director és v . G = − Un vector perpendicular al pla, en funció d’a , és (2, 1, ) a . w b) La recta i el pla seran paral·lels quan Gv i Gw siguin perpendiculars, és a dir, quan G G ⋅ = 0 . Llavors, v w − ⋅ − = − = (2,1, 1) (2, 1, ) 3 0 i, quan el paràmetre val 3 la recta i el pla són paral·lels. a a c) De forma anàloga, la recta i el pla seran perpendiculars quan e […]