PAU Matemàtiques 2003 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 4 (Qüestions)

4. Considereu els punts de l’espai A = (0, –2a – 1, 4a – 2), B = (1, –3, 4), C = (3, –5, 3). a) Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor de a. b) Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isòsceles. [2 punts]

4. Considereu els punts de l’espai A = (0, −2a −1, 4a −2), B = (1, −3, 4), C = (3, −5, 3). a) Comproveu que el triangle de vèrtexs A, B i C és rectangle en B per a qualsevol valor de a. b) Calculeu els valors de a que fan que aquest triangle sigui isósceles. a) L’únic que cal fer és comprovar que els vectors⃗AB = (1, 2a −2, −4a + 6) i CB = (2, −2, −1) sempre són perpendiculars. Calculant el producte escalar obtenim AB ·⃗CB = 1 × 2 + (2a −2) × (−2) + (−4a + 6) × (−1) = 0 que és el que voliem veure. Alternativament, també es pot comprovar que la suma dels quadrats de les distàncies entre A i B i entre C i B coincideix amb la distància entre A i C al quadrat. b) El triangle serà isósceles quan la distància d1 de A a B i la distància d2 de C a B coincideixin. Calculant els quadrats de d1 i d2 s’obté 2 = 1 + (2a −2)2 + (−4a + 6)2 = 20a2 −56a + 41 d1 2 = 22 + (−2)2 + (−1)2 = 9 d2 Les dues distàncies coincideixen quan 20a2 −56a + 41 = 9 ⇔a = 2 o bé a = 4 SÈRIE 3 MATEMÀTIQUES Pautes de correcc […]