PAU Matemàtiques 2003 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3 (Qüestions)

3. Considereu el punt P = (5, –2, 9) i la recta r: a) Calculeu l’equació de la recta s que talla perpendicularment r i que passa per P. b) Calculeu el punt de tall T entre les rectes r i s. [2 punts]

3. Considereu el punt P = (5, −2, 9) i la recta r : x −1 = y + 1 = z −2 −3 6 a) Calculeu l’equació de la recta s que talla perpendicularment a r i que passa per P. b) Calculeu el punt de tall T entre les rectes r i s. Els dos apartats es poden repondre al mateix temps. Els punts Q de la recta r són de la forma Q = (1 −2λ, −1 −3λ, 6λ) ja que aquesta recta és la que passa per (1, −1, 0) i té per vector director⃗v = (−2, −3, 6). El punt T que es vol obtenir serà el que compleixi que els vectors⃗PT i⃗v siguin perpendiculars. Com que per a cada un dels punts Q tenim PQ = (−4 −2λ, 1 −3λ, −9 + 6λ) la condició de perpendicularitat s’expressarà com 0 = (−2) × (−4 −2λ) + (−3) × (1 −3λ) + 6 × (−9 + 6λ) = −49 + 49λ ⇔λ = 1 Amb λ = 1 obtenim T = (−1, −4, 6),⃗PT = (−6, −2, −3) i l’equació de la recta perpendicular serà x + 1 = y + 4 = z −6 −6 −2 −3 També es pot obtenir el punt T com el punt d’intersecció de la recta r amb el pla perpendicular a r i que passa per P que seria el que té per equació −2x− […]