PAU Matemàtiques 2002 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 3 (Qüestions)

3. Comproveu que la recta que passa pels punts A = (4, 0, 0) i B = (0, 2, 2) és paral·lela al pla d'equació x – 3y + 5z = 2, i calculeu la distància entre la recta i el pla. [2 punts]

3. Comproveu que la recta que passa pels punts A = (4, 0, 0) i B = (0, 2, 2) és paral- lela al pla d’equació x −3y + 5z = 2, i calculeu la distància entre la recta i el pla. Un vector director de la recta és⃗AB = (0, 2, 2) −(4, 0, 0) = (−4, 2, 2). El vector v = (1, −3, 5) és perpendicular al pla. Tenim⃗AB ·⃗v = 0. Per tant⃗AB i⃗v són perpendiculars i⃗AB és de l’espai director del pla. La recta i el pla són llavors paral.lels. La distància entre la recta i el pla és la distància d’un punt de la recta, per exemple A, al pla que es pot calcular amb la fórmula d = |4 −3 × 0 + 5 × 0 −2| 2 √1 + 9 + 25 = √ Compteu fins a un punt per la comprovació de que la recta i el pla són paral.lels i deixeu l’altre punt pel càlcul de la distància, restant com a màxim mig punt per errors de càlcul. Encara que no es comprovi correctament que la recta i el pla són paral.lels, valoreu el càlcul de la distància.