PAU Matemàtiques 2002 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 1 (Problemes)

PROBLEMES 1. Suposem que el Sol es troba a l'origen d'un sistema de coordenades i que un cometa segueix una trajectòria donada per la paràbola y = 1 – x 2, tal com es veu a la figura següent: a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol? b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa? c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la màxima distància del Sol? d) Hi ha algun punt en què la distància entre el Sol i el cometa sigui un màxim local o relatiu? Nota: Teniu present que la distància entre dos punts és màxima o mínima quan el quadrat de la distància és màxim o mínim. [4 punts]

Problemes 1. Suposem que el Sol es troba a l’origen d’un sistema de coordenades i que un cometa segueix una trajectòria donada per la paràbola y = 1 −x2, tal i com es veu a la figura següent: –3 –2 –1 1 2 3 Sol –1 –2 Cometa –3 –4 –5 –6 a) Quin és el punt en què el cometa es troba més proper al Sol? b) Quant val en aquest cas la distància del Sol al cometa? c) Hi ha algun punt en què el cometa es trobi a la màxima distància del Sol? d) Hi ha algun punt en què la distància entre el Sol i el cometa sigui un màxim local o relatiu? Nota: Teniu present que la distància entre dos punts és màxima o mínima quan el quadrat de la distància és màxim o mínim. La distància al quadrat d’un punt (x, 1 −x2) de la paràbola a l’origen és d(x) = x2 + (1 −x2)2 = x4 −x2 + 1 √ √ 2 2 La derivada de d(x) és d′(x) = 4x3 −2x que s’anul.la en x = 0, x = i x = − 2 2 √ de tal forma que en x = 0 la funció d té un màxim local i en els punts x = ± mínims locals. Aleshores: √ Els punts en que el cometa es troba més prop […]