PAU Matemàtiques 2001 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 2 (Problemes)

2. Sigui π el pla d'equació x – y + 2z = 3 i P el punt (1, 1, 0). a) Calculeu la distància d de P a π . b) Determineu l'equació de l'altre pla π' paral·lel a π que també dista d del punt P. c) Determineu l'equació de la recta r perpendicular a π que passa per P. d) Calculeu la intersecció de la recta r amb el pla π. [4 punts]

2. Sigui π el pla d’equació x −y + 2z = 3 i P el punt (1, 1, 0). a) Calculeu la distància d de P a π. Determineu l’equació de l’altre pla π′ paral.lel a π que també dista d del punt b) P. c) Determineu l’equació de la recta r perpendicular a π que passa per P. d) Calculeu la intersecció de la recta r amb el pla π. a) Si apliquem la fórmula de la distància d’un punt a un pla tenim r d = |1 × 1 −1 × 1 + 2 × 0 −3| 3 3 = √ 6 = 12 + (−1)2 + 22 p 2 El pla π′ tindrà una equació de la forma x −y + 2z + k = 0. Aplicant un altre b) cop la fórmula de la distància d’un punt a un pla volem |1 −1 + 2 × 0 + k| 3 √ = √ 6 6 Per tant |k| = 3, com que el pla π és el que té k = −3, el pla π′ tindrà per equació x −y + 2z + 3 = 0. c) El vector director d’una recta perpendicular a π és (1, −1, 2). Les equacions de r seran x −1 = y −1 = z 1 −1 2 d) La intersecció de r i π s’obté solucionant el sistema d’equacions x −1 = −y + 1    x −1 = 1  2z   x −y + 2z = 3  La solució d’aquest sistema és x = 3/2, y = […]