PAU Matemàtiques 2001 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 3 (Qüestions)

3. Considereu la funció definida per f (x ) = eax ,  si x ≤ 0  2x + 1, si x > 0  on a és un nombre real. a) Calculeu lim f(x) i comproveu que f(x) és contínua en x = 0. x →0 b) Per a quin valor del paràmetre a la funció f(x) és derivable en x = 0? [2 punts]

3. Considereu la funció definida per ( ea x, si x ≤0 f(x) = 2x + 1, si x > 0 on a és un nombre real. a) Calculeu lim x→0 f(x) i comproveu que f(x) és contínua en x = 0. b) Per a quin valor del paràmetre a la funció f(x) és derivable en x = 0? x→0 eax = lim a) Com que f(0) = 1 i lim x→0(2x + 1) = 1 (independentment del valor que tingui a), la funció f(x) és contínua. Com que la derivada de eax és a eax, que en x = 0 val a, i la derivada de 2x+1 b) és costant i igual a 2, la funció f(x) és derivable només quan a = 2. Compteu un punt per cada apartat. Teniu en compte que pot haver alumnes que no coneguin el llenguatge de límit per la dreta i límit per l’esquerra i que, per tant, no es pot esperar que la qüestió es resolgui utilitzant aquest llenguatge. El que si han de saber tractar és el que passa quan es defineix una funció enganxant-ne dues.