PAU Matemàtiques 2012 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 2

, en què a≠0. 2. Sigui a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b. b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f(x) tingui la recta y=2x−4 com a asímptota obliqua a+∞. [1 punt per cada apartat]

2.- Sigui f(x) = ax2 x + b, en què a̸ = 0 . (a) Determineu si té alguna asímptota vertical, en funció del paràmetre b. (b) Indiqueu el valor dels paràmetres a i b perquè la funció f(x) tingui la recta y = 2x −4 com a asímptota obliqua a +∞. [1 punt per cada apartat] Solució (a) La funció, per ser racional, pot tenir una asímptota vertical en el valor de la variable x que anul·li x + b = ab2 ax2 Si b̸ = 0, lím = ∞(el signe d’aquest “límit” depèn de si es realitza per la dreta o x→−b 0 per l’esquerra, però no ens interessa). En aquest cas, la recta x = −b és una asímptota vertical. ax2 ax2 Si b = 0, lím x→0 ax = 0 . Llavors, la funció no té cap asímptota vertical. x + b = lím = lím x→0 x→−b x (b) Solució 1 Una asímptota obliqua al +∞és de la forma y = mx + n amb f(x) i n = m = lím x→+∞(f(x) −mx) . lím x→+∞ x En el nostre cas, ax2 ax2 x + b x2 + bx = a . m = lím = lím x→+∞ x x→+∞ ! ax2 −abx x + b = −ab . n = lím x + b −ax = lím x→+∞ x→+∞ Si l’asímptota obliqua a +∞ha de ser y = 2x −3, cal […]