PAU Matemàtiques 2018 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 3

3. Sigui la funció , amb a ≠ 0 i b ≠ 0. a) Calculeu els valors de a i de b que fan que la funció tingui un extrem relatiu en el punt (1, e). [1 punt] b) Per al cas a = 3 i b = 5, calculeu l’asímptota horitzontal de la funció f quan x tendeix a +∞. [1 punt]

3. Sigui la funció ( ) , amb i . a) Calculeu els valors de a i de b que fan que la funció tingui un extrem relatiu en el punt ( ). [1 punt] b) Per al cas i , calculeu l’asímptota horitzontal de la funció f quan x tendeix a . [1 punt] Resolució: Per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt ( ) cal que la derivada a) primera de la funció s’anul.li en el punt d’abscissa i que la imatge de la funció en aquest punt sigui , és a dir, ( ) i ( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) De la primera igualtat com que aleshores deduïm que o . Ara bé, si ( ) , per a qualsevol valor de x, per tant tenim que i si substituïm a la segona equacio obtenim ( ) d’on deduïm que . Si i aleshores tenim ( ) b) Per a calcular l’asímptota horitzontal quan x tendeix a ., hem de calcular ( ) ( ) Per tant, la funció té una asímptota horitzontal en l’eix de les x’s, . Apartat a) 0,25 punts per la derivada de la funció. 0,25 punts pel plantejament del sistema a resoldre. 0,25 punts pel càlcul d’un paràmetre. 0,25 pun […]