PAU Matemàtiques 2001 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 2 (Problemes)

2. Considereu la funció f (x ) = x 2 – 2x 2x 2 + 1 a) Determineu les seves asímptotes. b) Calculeu els intervals on creix i on decreix, i els extrems relatius. c) D'acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la seva gràfica. d) Fixant-vos en la gràfica anterior, expliqueu quina seria la gràfica de la funció g(x) = –f(x) + 3 (feu-ne un esquema). En quins punts té màxims la fun- ció g(x)? [4 punts] SÈRIE 5 PAAU. LOGSE MATEMÀTIQUES Curs 2000-2001 A continuació trobareu l'enunciat de quatre qüestions i dos problemes. Heu de respondre només tres de les quatre qüestions i resoldre només un dels dos problemes (podeu triar les qüestions i el problema que vulgueu). En les respostes que doneu heu d'explicar sempre què és el que voleu fer i per què.

2. Considereu la funció: f(x) = x2 2x 2x2 + 1 a) Determineu les seves asímptotes. b) Calculeu els intervals on creix i on decreix i els extrems relatius. c) D’acord amb els resultats que heu obtingut, dibuixeu aproximadament la seva gràfica. d) Fixant-vos en la gràfica anterior, expliqueu quina seria la gràfica de la funció g(x) = f(x) + 3 (feu-ne un esquema). En quins punts té màxims la funció g(x)? Com que el denominador 2x2 + 1 no s’anul.la per a cap valor de x, no hi ha a) cap valor b per al que lim x→b f(x) sigui infinit. Per tant, no hi ha cap asímptota vertical. Es té x→+∞f(x) = lim x→∞f(x) = 1/2. Per tant la recta y = 1/2 és asímptota lim horitzontal de la gràfica de f(x) quan x tendeix a +∞i també quan x tendeix a ∞. b) Tenim f′(x) = 22x2 + x (2x2 + 1)2 de forma que f′(x) = 0 per a x = 1 i per a x = 1/2. Els signes de f′(x) seran • Positiu quan x < 1 (i f(x) és creixent). • Negatiu quan 1 < x < 1/2 (i f(x) és decreixent). • Positiu quan x > 1/2 (i f(x) torna a ser creixent). A més, […]