PAU Matemàtiques 2022 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. La imatge següent mostra dues parets perpendiculars d’una sala representades en uns eixos de coordenades, de manera que una paret és al pla y = 0 i l’altra és al pla x = 0. En el punt A = (2, 0, 2) hi volem penjar un altaveu que ha d’estar connectat a un equip de so, el qual està situat a l’altra paret, en el punt B = (0, 2, 1). La connexió entre A i B la farem mitjançant un cable que passi pel punt C = (0, 0, h), situat a la recta vertical d’in­ tersecció de les dues parets. Com que la qualitat del so depèn, entre altres factors, de la longitud del cable que uneix els dos aparells, volem fer una instaŀlació amb el mínim de cable possible. a) Comproveu que la longitud total del cable necessari, en funció de l’altura h per on ha de passar el cable a l’eix vertical OZ, ve donada per l’expressió . [0,75 punts] b) Calculeu les coordenades del punt C per on ha de passar el cable per tal que la longi­ tud del cable sigui mínima. Calculeu aquesta longitud mínima del cable. [1,75 punts]

a) Considerem els tres punts de la imatge: 𝐴= (2, 0, 2), 𝐵= (0, 2, 1) i 𝐶= (0, 0, ℎ). 𝑑(𝐴, 𝐶) = √2² + (2 −ℎ)² = √4 + 4 −4ℎ+ ℎ² = √ℎ² −4ℎ+ 8 𝑑(𝐵, 𝐶) = √2² + (1 −ℎ)² = √4 + 1 −2ℎ+ ℎ² = √ℎ² −2ℎ+ 5 Per tant, efectivament, 𝐿(ℎ) = √ℎ² −4ℎ+ 8 + √ℎ² −2ℎ+ 5 . b) Per a trobar el valor mínim, derivem la funció 𝐿(ℎ) i en trobem els punts singulars: 2ℎ−4 2ℎ−2 ℎ−2 ℎ−1 . 𝐿′(ℎ) = + = + 2√ℎ2 −4ℎ+ 8 2√ℎ2 −2ℎ+ 5 √ℎ2 −4ℎ+ 8 √ℎ2 −2ℎ+ 5 ℎ−2 ℎ−1 Quan fem 𝐿′(ℎ) = 0: √ℎ²−2ℎ+5 = 0 √ℎ²−4ℎ+8 + ℎ−2 ℎ−1 √ℎ2−2ℎ+5 ⇒(ℎ−2)√ℎ² −2ℎ+ 5 = −(ℎ−1)√ℎ² −4ℎ+ 8 √ℎ²−4ℎ+8 = − Si elevem els dos termes de la igualtat al quadrat, obtenim: (ℎ−2)²(ℎ² −2ℎ+ 5) = (ℎ−1)²(ℎ² −4ℎ+ 8) D’on: (ℎ² −4ℎ+ 4)(ℎ² −2ℎ+ 5) = (ℎ² −2ℎ+ 1)(ℎ² −4ℎ+ 8) ℎ⁴ −2ℎ³ + 5ℎ² −4ℎ³ + 8ℎ² −20ℎ+ 4ℎ² −8ℎ+ 20 = = ℎ⁴ −4ℎ³ + 8ℎ² −2ℎ³ + 8ℎ² −16ℎ+ ℎ² −4ℎ+ 8 12 3 Operant, obtenim 8ℎ= 12 i, per tant, ℎ= 2. 8 = Per a comprovar que aquest valor correspon al mínim, n’hi ha prou observant el signe de la derivada abans i després d’aquest valor dins del domini del context de la funci […]