PAU Matemàtiques 2026 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Considereu la funció definida a trossos següent: on m és un paràmetre real. 1.1. Determineu els valors de m que fan que la funció f(x) sigui contínua en tot el seu domi- ni. Justifiqueu la resposta. [1 punt] Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. Feu un esbós de la gràfica de y = f(x) per al cas m = –2, i calculeu l’àrea delimitada per aquesta gràfica, l’eix OX i les rectes x = –1 i x = 3. Puntuació de l’apartat 1.2 1.3. Per a m = –2, trobeu un punt on la recta tangent a y = f(x) sigui paraŀlela a y = –2x. Calculeu l’equació d’aquesta recta tangent. [0,5 punts] Puntuació de l’apartat 1.3

Exercici 1 1.1. Com que les tres funcions que defineixen 𝑓 són contínues en els seus respectius intervals de definició, només cal imposar que 𝑓 sigui contínua als punts de contacte, 𝑥= 0 i 𝑥= 2. Tenim 𝑥→0−5𝑒2𝑥= 5, 𝑥→0−𝑓(𝑥) = lim lim 𝑓(0) = 5𝑒0 = 5, 𝑥→0+(𝑥+ 𝑚)2 + 1 = 𝑚2 + 1. 𝑥→0+ 𝑓(𝑥) = lim lim Per tant, la funció 𝑓 és contínua en 𝑥= 0 si i només si 𝑚2 + 1 = 5, cosa que passa si i només si 𝑚= ±2. D’altra banda, 𝑥→2−(𝑥+ 𝑚)2 + 1 = (2 + 𝑚)2 + 1, 𝑥→2−𝑓(𝑥) = lim lim 𝑓(2) = 1, 𝑥→2+ 1 = 1, 𝑥→2+ 𝑓(𝑥) = lim lim i la funció 𝑓 és contínua en 𝑥= 2 si i només si (2 + 𝑚)2 + 1 = 1, cosa que passa si i només si 𝑚= −2. Per tant, la funció és contínua en tots els punts només quan 𝑚= −2. 1.2. La gràfica corresponent és: −𝑏 Per representar la funció quadràtica es pot calcular el vèrtex amb la fórmula 𝑥= 2𝑎= 2 o bé observar que és una translació 2 unitats a la dreta i una unitat amunt de la paràbola 𝑦= 𝑥2. És clar, fins i tot sense la gràfica, que la funció és positiva en tot el seu domini. Per tant per cal […]