PAU Matemàtiques 2020 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 6

6. Considereu la funció f(x) = x3. a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a y = f(x) és paraŀlela a la recta 3x – y = 4. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts] b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per y = f(x) i la recta y = 3x + 2. [1,25 punts]

6. Considereu la funció 𝑓(𝑥) = 𝑥3. a) Calculeu en quin punt del tercer quadrant la recta tangent a 𝑦= 𝑓(𝑥) és paral·lela a la recta 3𝑥−𝑦= 4. Calculeu l’equació de la recta tangent a la gràfica en aquest punt i feu un dibuix aproximat de la gràfica de la funció i les dues rectes. [1,25 punts] b) Calculeu l’àrea de la regió delimitada per 𝑦= 𝑓(𝑥) i la recta 𝑦= 3𝑥+ 2. [1,25 punts] Resolució: a) El pendent de la recta tangent a la funció 𝑦= 𝑓(𝑥) en el punt (𝑎, 𝑓(𝑎)) és 𝑓′(𝑎), que ha de ser igual al pendent de la recta 𝑦= 3𝑥−4, que és 3. Per tant, 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 → 𝑓′(𝑎) = 3𝑎2 = 3 → →𝑎2 = 1 →𝑎= ±1 Així, el punt buscat és (−1, 𝑓(−1)) = (−1, −1) ja que ha de ser del tercer quadrant. La recta tangent en aquest punt és: 𝑦= 𝑓′(−1)(𝑥+ 1) + 𝑓(−1) →𝑦= 3𝑥+ 2 b) Per a calcular l’àrea compresa entre 𝑦= 𝑥3 i 𝑦= 3𝑥+ 2, hem de calcular els seus punts de tall: 𝑦= 𝑥3 𝑦= 3𝑥+ 2 →𝑥3 = 3𝑥+ 2 →𝑥3 −3𝑥−2 = 0 { Pel mètode de Ruffini es descompon el polinomi en factors primers i tenim: 𝑥3 −3𝑥−2 = (𝑥+ 1)2(𝑥−2) = 0 →𝑥= − […]