PAU Matemàtiques 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 4

4. Considereu la funció f(x), que depèn dels paràmetres reals n i m i és definida per a) Calculeu els valors de n i m perquè la funció sigui contínua a tot el conjunt dels nom­ bres reals. [1 punt] b) Per al cas n = –4 i m = –6, calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica de f (x), l’eix de les abscisses i les rectes x = 0 i x = 4. [1 punt]

4. Considereu la funció 𝑓(𝑥), que depèn dels paràmetres reals n i m i és definida per 𝑒𝑥 𝑠𝑖 𝑥≤0 𝑥2 4 + 𝑛 𝑠𝑖 0 < 𝑥≤2 𝑓(𝑥) = { 3𝑥 2 + 𝑚 𝑥> 2 a) Calculeu els valors de n i m perquè la funció sigui contínua a tot el conjunt dels nombres reals. [1 punt] b) Per al cas n = -4 i m = -6, calculeu l’àrea de la regió limitada per la gràfica de 𝑓(𝑥), l’eix de les abscisses i les rectes 𝑥= 0 i 𝑥= 4. [1 punt] Resolució: a) La funció f(x) està definida per trossos que són funcions contínues (exponencial i polinòmiques), per tant només cal estudiar la continuïtat en x = 0 i en x = 2. Perquè f(x) sigui contínua en x = a és necessari que lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). 𝑥→0−𝑒𝑥= 1 = 𝑓(0) lim 𝑥→0+ (𝑥2 𝑥→0 𝑓(𝑥) = { lim lim 4 + 𝑛) = 𝑛 i 𝑥→2−(𝑥2 lim 4 + 𝑛) = 1 + 𝑛= 𝑓(2) 𝑥→2 𝑓(𝑥) = lim 𝑥→2+ (3 { lim 2 𝑥+ 𝑚) = 3 + 𝑚 n  1 n  1    1  n  3  m m  1  Aleshores per a ser contínua en els dos punts cal que Per tant, si n = 1 i m = -1 la funció f(x) és contínua per qualsevol nombre real. b) Quan n = -4 i m = -6  e x si […]