PAU Matemàtiques 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: a) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] b) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1 punt]

3. Considereu el sistema d’equacions lineals següent, que depèn del paràmetre real a: 𝑎𝑥+ 7𝑦+ 5𝑧= 0 𝑥+ 𝑎𝑦+ 𝑧= 3 { 𝑦+ 𝑧= −2 c) Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre a. [1 punt] d) Resoleu el sistema per al cas a = 2. [1 punt] Resolució: a) El sistema en forma matricial és el següent: 𝑎 7 5 0 𝐴′ = 𝐴|𝑏= ( ) 1 𝑎 1 | 3 0 1 1 −2 Anem a calcular el rang(A) i rang(A’) per als diferents valors del paràmetre a. El rang(A) serà màxim quan el determinant de la matriu A sigui diferent de 0. Calculem el determinant de la matriu A. 𝑎 7 5 | = 𝑎2 + 5 −𝑎−7 = 𝑎2 −𝑎−2 | 1 𝑎 1 0 1 1 Quan resolem 𝑎2 −𝑎−2 = 0 obtenim els valors 𝑎= −1 i 𝑎= 2.  Cas 𝑎≠−1 i 𝑎≠2. |𝐴| ≠0 i per tant rang(A) = 3 = rang(A’) = nombre d’incògnites, per tant el sistema és Compatible Determinat.  Cas 𝑎= −1 Substituïm el valor d’a i obtenim: −1 7 5 0 𝐴′ = 𝐴|𝑏= ( ) | 1 −1 1 3 0 1 1 −2 Com que |𝐴| = 0 aleshores rang(A) < 3, però com que |1 −1 1 | = 1 ≠0, aleshores rang(A) = 2. −1 7 0 Com que | | = −2 + 3 + 14 = 15 ≠0, […]