PAU Matemàtiques 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 5

5. Considereu els plans π1: 2x + ay + z = 5, π2: x + ay + z = 1 i π3: 2x + (a + 1)y + (a + 1)z = 0, en què a és un paràmetre real. a) Estudieu per a quins valors del paràmetre a els tres plans es tallen en un punt. [1 punt] b) Comproveu que per al cas a = 1 la interpretació geomètrica del sistema format per les equacions dels tres plans és la que es mostra en la imatge següent: [1 punt]

5. Considereu els plans 𝜋1: 2𝑥+ 𝑎𝑦+ 𝑧= 5, 𝜋2: 𝑥+ 𝑎𝑦+ 𝑧= 1 i 𝜋3: 2𝑥+ (𝑎+ 1)𝑦+ (𝑎+ 1)𝑧= 0, en què a és un paràmetre real. a) Estudieu per a quins valors del paràmetre a els tres plans es tallen en un punt. [1 punt] b) Comproveu que per al cas a = 1 la interpretació geomètrica del sistema format per les equacions dels tres plans és la que es mostra en la imatge següent: [1 punt] Resolució: a) Perquè els tres plans es tallin en un punt la matriu del sistema format per les tres equacions ha de ser compatible determinat. Cal que la matriu M del sistema tingui rang 3. Llavors la matriu ampliada també tindrà rang 3 i per tant el sistema serà compatible determinat. 2 𝑎 1 𝑀= | | = 2𝑎(𝑎+ 1) + 2𝑎+ 𝑎+ 1 −2𝑎−2(𝑎+ 1) −𝑎(𝑎+ 1) 1 𝑎 1 2 𝑎+ 1 𝑎+ 1 = 2𝑎2 + 2𝑎+ 2𝑎+ 𝑎+ 1 −2𝑎−2𝑎−2 −𝑎2 −𝑎= 𝑎2 −1 rang M = 3 quan 𝑎2 −1 ≠0, és a dir 𝑎≠±1. En aquests casos els tres plans es tallen en un punt. b) La situació representada mostra dos plans paral·lels i un altre que els talla. En el cas a =1 tenim: 2 x  y  z  5  […]