PAU Matemàtiques 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 6

6. Sabem que una funció f (x) és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a segona derivada f ″(x) = 6x i que la recta tangent en el punt d’abscissa x = 1 és horitzontal. a) Determineu l’abscissa dels punts d’inflexió de la funció f i els intervals de concavitat i convexitat. Justifiqueu que la funció f té un mínim relatiu en x = 1. [1 punt] b) Sabent, a més, que la recta tangent en el punt d’abscissa x = 1 és y = 5, calculeu l’expres­ sió de la funció f. [1 punt]

6. Sabem que una funció 𝑓(𝑥) és contínua i derivable a tots els nombres reals, que té com a derivada segona 𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 i que la recta tangent en el punt d’abscissa 𝑥= 1 és horitzontal. a) Determineu l’abscissa dels punts d’inflexió de la funció 𝑓 i els intervals de concavitat i convexitat. Justifiqueu que la funció 𝑓 té un mínim relatiu en 𝑥= 1. [1 punt] b) Sabent, a més, que la recta tangent en el punt d’abscissa 𝑥= 1 és 𝑦= 5, calculeu l’expressió de la funció 𝑓. [1 punt] Resolució: a) L’únic candidat a punt d’inflexió és el punt que anul.la la derivada segona, 𝑥= 0 i per estudiar els intervals de concavitat i convexitat només cal considerar els intervals (−∞, 0) i (0, ∞). Com que 𝑓′′(𝑥) < 0 per 𝑥< 0 i 𝑓′′(𝑥) > 0 per 𝑥> 0 deduïm que la funció 𝑓 és convexa ( ∩ ) en (−∞, 0) i còncava ( ∪ ) en (0, ∞). Observació: En cas de conflicte entre la terminologia i el grafisme prevaldrà la resposta gràfica. Per tant la funció té un únic punt d’inflexió en 𝑥= 0. D’altra banda, sabem que 𝑓′(1) = 0 […]