PAU Matemàtiques 2019 · Juny · Sèrie 4 · Exercici 2

2. Siguin la recta i el pla π : x – z = 3. a) Calculeu l’equació paramètrica de la recta que és perpendicular al pla π i que el talla en el mateix punt en què el talla la recta r. [1 punt] b) Trobeu els punts de r que estan a una distància de unitats del pla π. [1 punt] Nota: Podeu calcular la distància que hi ha d’un punt de coordenades (x0, y0, z0) al pla d’equació Ax + By + Cz + D = 0 amb l’expressió .

2. Volem construir un marc rectangular de fusta que delimiti una àrea de 2 𝑚2. Sabem que el preu de la fusta és de 7,5 €/m per als costats horitzontals i de 12,5 €/m per als costats verticals. Determineu les dimensions que ha de tenir el rectangle perquè el cost total del marc sigui el mínim possible. Quin és aquest cost mínim? [2 punts] Resolució: Anomenem 𝑥 a la mesura del costat horitzontal del rectangle i 𝑦 a la mesura del costat vertical. Atès que l’àrea del rectangle ha de ser de dos metres quadrats, sabem que 𝑥· 𝑦= 2 La funció que facilita el cost a partir de la mesura dels costats és: C(𝑥, 𝑦) = 7,5 · 2𝑥+ 12,5 · 2𝑦= 15𝑥+ 25𝑦 Com que 𝑥· 𝑦= 2 , sabem que 𝑦= 2/𝑥 i, per tant, C(𝑥) = 15𝑥+ 50/𝑥 Estudiem per a quin valor de x > 0 és mínima la funció cost: C′(𝑥) = 15 −50/𝑥2 C′(𝑥) = 0 ↔15 −50 𝑥2 = 0 ↔ 𝑥= √10 3 = √30 C′′(𝑥) = 100/𝑥3 C′′ (𝑥= √30 3 ) > 0 → Mínim relatiu de C(𝑥) quan 𝑥= √30 3 m 𝑦= 2 2 6 = √30 5 m 𝑥= = √30 √30 Les dimensions que hem d’escollir per tal que el marc sigui el més […]