PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

1. Una empresa compra tres immobles per un valor total de 2 milions d’euros. En ven- dre’ls, espera obtenir uns guanys del 20%, del 50% i del 25%, respectivament, que li reportaran uns beneficis totals de 600000 euros. En el moment de posar-los a la venda, però, aconsegueix uns guanys del 80%, del 90% i del 85%, respectivament, cosa que li reporta uns beneficis totals d’1,7 milions d’euros. Quant havia pagat per cada immoble? [2 punts]

1. Anomenarem x, y, z als preus de compra de cada immoble. Amb aquestes incògnites, les dades dels problema es tradueixen algebraicament en el sistema: + + = x y z 2 ⎫ ⎪ + + = 0,2x 0,5y 0,25z 0,6 ⎬ . ⎪ + + = 0,8x 0,9y 0,85z 1,7 ⎭ Per a facilitar la resolució del sistema multiplicarem per 10 la segona i la tercera equacions. El sistema queda així: + + = x y z 2 ⎫ ⎪ + + = 2x 5y 2,5z 6 ⎬ , ⎪ + + = 8x 9y 8,5z 17 ⎭ que resoldrem pel mètode de Gauss: + + = ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 1 2 ⎞ ⎛ 1 1 1 2 ⎞ x y z 2 ⎫ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → → → + = 2 5 2,5 6 0 3 0,5 2 0 3 0,5 2 3y 0,5z 2 ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ = 8 9 5,5 17 0 1 0,5 1 0 0 1 1 z 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ que,  substituint,  ens  dóna  la  solució  del  sistema:  x  =  1/2,  y  =  1/2,  z  =  1.  La  resposta  a  la pregunta  és  que  els  preus  de  compra  dels  immobles  han  estat  de  500.000  euros  els  dos primers i 1 milió d’euros el tercer immoble.