PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2011 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Una empresa que fabrica bicicletes ven la totalitat de la producció. Anomenarem x el nombre de bicicletes que fabrica mensualment. Els costos mensuals de produc- ció, en euros, segueixen la funció C(x)=180x+12000. La venda de les bicicletes li reporta uns ingressos que segueixen la funció . Els beneficis de l’empresa són, lògicament, la diferència entre ingressos i costos. a) En quin interval cal situar la producció per a no perdre diners? [1 punt] b) Quantes bicicletes ha de produir mensualment l’empresa per a obtenir el bene- fici màxim? En aquest cas, quant guanya per cada bicicleta? [1 punt]

5. = − = − 2 + − B(x) I(x) C(x) x 320x 12000 a. La funció de beneficis serà  . Tindrem, doncs, que B(x) = 0 si x = 40 o x = 600. En aquest interval la funció serà positiva: els beneficis seran positius sempre que produïm entre 40 i 600 bicicletes. = −+ b.  B'(x) x 320 . Si x < 320, B’ > 0 i si x > 320, B’ < 0: x = 320 correspon al màxim de beneficis, que és de 39200 €. A cada bicicleta guanyem, doncs, 39200/320=122,50 €