PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2010 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Una botiga ha venut 225 llapis de memòria de tres models diferents, que anome - narem A, B i C, i ha ingressat un total de 10500 €. El llapis A costa 50 €, i els models B i C són, respectivament, un 10% i un 40% més barats que el model A. La suma total de llapis venuts dels models B i C és la meitat que la de llapis venuts del model A. Calculeu quants exemplars s’han venut de cada model. [2 punts]

Cada llapis A costa 50 €. Per tant, cada llapis B costa 90 100 ⋅ = 50 45 €, i cada llapis C costa 60 100 ⋅ = 50 30 €. Si anomenem x al nombre de llapis de tipus A que han venut, y al nombre de llapis de tipus B i z al nombre de llapis de tipus C, les dades del problema es tradueixen algebraicament com: + + = + + = x y z 225 ⎫ x y z 225 ⎫ ⎪ ⎪ + + = + + = 50x 45y 30z 10.500 o bé, 50x 45y 30z 10.500 . Dividint per 5 la ⎬ ⎬ ⎪ ⎪ = + − − = x 2(y z) x 2y 2z 0 ⎭ ⎭ segona equació i resolent pel mètode de Gauss tindrem: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + = ⎫ 1 1 1 225 1 1 1 40 1 1 1 225 x y z 225 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ → → → + = 10 9 6 2100 0 1 4 150 0 1 4 150 y 4z 150 ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − = 1 2 2 0 0 3 3 225 0 0 9 225 9z 225 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ d’on obtenim z = 25, y = 50, x = 150. Per tant, la botiga ha venut 150 llapis de tipus A, 50 de tipus B i 25 de tipus C.