PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2009 · Setembre · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Expliqueu, raonadament, quantes solucions té. [1 punt] b) Trobeu una solució amb z = 5. [1 punt]

4. Considereu el sistema d’equacions següent: 3 x y 2 z 0 ⎫ − + = ⎪ x 2 y z 0 − + = ⎬ ⎪ x 3 y 0 + = ⎭. a) Expliqueu, raonadament, quantes solucions té. [1 punt] z = 5 b) Trobeu una solució amb . [1 punt] Solució: a) És un sistema homogeni. Per tant sempre té almenys la solució trivial ( , , ) x y z = (0,0,0) . En aquest cas, resolent per Gauss tenim: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 1 2 1 3 0 1 3 0 − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 2 1 0 5 1 0 5 1 − → − → − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 0 0 10 2 0 0 0 − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ I per tant té una infinitat de solucions, depenent del valor de z . 5 y z ; y z ; − = − = x 3 ; y x z ; = − = − y 1, x 3 b) Per z = 5 , resulta = = −.