PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2008 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

4. Considereu el sistema d’equacions següent: a) Trobeu els valors de a per als quals el sistema no és compatible determinat. [1 punt] b) Trobeu el valor de a per al qual el valor de x és 2. Determineu també els valors de y i de z en aquest cas. [1 punt]

4. Considereu el sistema d’equacions següent: + + = ⎫ x y z 5 ⎪ + + = 2 x 3 y z 3 ⎬ ⎪ + + = ax 10 y 4 z 2 ⎭. a) Trobeu els valors de per als quals el sistema no és compatible determinat. [1 punt] b) Trobeu el valor de per al qual el valor de és 2. Determineu també els valors de i de en aquest cas. [1 punt] Solució: a) Per Gauss: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 1 1 5 1 1 1 5 1 1 1 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → − − → − − 2 3 1 3 0 1 1 7 0 1 1 7 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − − a 10 4 2 0 10 a 4 a 2 5 a 0 0 14 2 a 72 12 a ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a = − = Per tant, no és compatible i determinat si 14 2 a 0 7 o equivalentment per . Alternativament per determinants. El determinant del sistema és: 1 1 1 = + + − − − = − 2 3 1 12 20 a 3 a 10 8 14 2 a . a 10 4 Amb la mateixa conclusió. b) Si , el sistema de les dues primeres equacions dóna: + = ⎫ y z 3 ⎬ que té per solució , . + = −⎭ 3 y z 1 Substituint ara en la tercera equació, resulta , d’on .