PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2007 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 6

6. Una persona va a la vinateria i compra tres classes de vi. En total, en compra 20 botelles i s’hi gasta 100 . Compra botelles de tres classes, A, B i C, que costen 3 , 7 i 8 respectivament. Trobeu el nombre de botelles de cada classe que ha com- prat, sabent que almenys n’ha comprat una de cada classe.

6. Una persona va a la vinateria i compra tres tipus de vi. En total compra 20 botelles i s’hi gasta 100 €. Compra botelles de tres classes A, B i C, que costen 3 €, 7 € i 8 € respectivament. Trobeu el nombre de botelles de cada classe que ha comprat, sabent que al menys n’ha comprat una de cada classe. Puntuació: 1.5 punts pel plantejament; 1 per la solució genèrica i 1.5 punts per la discussió amb enters. Total: 4 punts. Solució: Anomenant respectivament , , x y z als nombres de botelles dels tipus A, B i C el sistema de condicions és: + + = ⎫ x y z 20 ⎪ + + = 3 x 7 y 8 z 100 ⎪⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ d’on per Gauss: 1 1 1 | 20 1 1 1 | 20 ≥ → x 1 ⎬ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3 7 8 | 100 0 4 5 | 40 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ≥ y 1 ⎪ ≥ ⎪⎭ z 1 − 40 5 z z z = = − x = + y 10 5 10 Així: i . 4 4 4 Com , , x y z han de ser enters més grans o igual que 1, necessàriament z ha de ser múltiple de x = y = z = 4 4. El mínim valor de z possible és 4, pel qual corresponen 11 , 5 i . Aquests z = y = són els únics valors possibles de , , x y z , ja qu […]