PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 3

3. Una cooperativa de pagesos ven taronges i mandarines en dos tipus de caixes. La caixa A conté 8 kg de taronges i 2 kg de mandarines, i la caixa B conté 5 kg de taronges i 5 kg de mandarines. Enguany la producció de taronges ha estat de 24.000 kg i la de mandarines, de 12.000 kg. El preu de venda de les taronges és de 0,60 €/kg i el de les mandarines, de 0,70 €/kg. Els pagesos de la cooperativa volen saber quantes caixes de cada tipus han de vendre per a maximitzar els ingressos. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Determineu quantes caixes de cada tipus cal vendre per a obtenir el màxim d’ingres- sos i quins serien aquests ingressos. [1,25 punts]

a) Denotem per 𝑥 el nombre de caixes tipus 𝐴 i per 𝑦 el nombre de caixes tipus 𝐵. El sistema d’inequacions donat per les restriccions del problema és el següent: 𝑥≥0 𝑦≥0 { 8𝑥+ 5𝑦≤24000 2𝑥+ 5𝑦≤12000 Els ingressos per la venda d’una caixa del tipus 𝐴 és: 8 · 0,60 + 2 · 0,70 = 6,2 €, i els ingressos per la venda d’una caixa del tipus B és: 5 · 0,60 + 5 · 0,70 = 6,5 €. Per tant, la funció objectiu, que ens dona els ingressos per la venda de les caixes, és: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 6,2𝑥+ 6,5𝑦 La regió factible serà: b) Els vèrtexs de la regió factible són: (0,0), (3000,0), (2000,1600) i (0,2400). Si avaluem la funció objectiu als quatre vèrtexs obtenim: 𝐹(0,0) = 0 𝐹(3000,0) = 18600 𝐹(2000,1600) = 22800 𝐹(0,2400) = 15600 Per tant, els ingressos màxims s’obtenen venent 2.000 caixes del tipus 𝐴 i 1.600 caixes del tipus 𝐵 i són de 22.800 €. a) Càlcul de les restriccions: 0,5 punts. Dibuix de la regió factible: 0,5 punts. Obtenció de la funció objectiu: 0,25 punts. b) Obtenció dels vèrtexs: 0,5 punts. Obtenció […]