PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Una empresa de Menorca vol oferir dos tipus d’activitats: bateigs de submarinisme des d’una barca i excursions en barca per la costa per a banyar-se en cales. El bateig de sub- marinisme té un preu de 60 euros per persona i a cada embarcació hi aniran 10 partici- pants i 5 instructors. L’excursió per la costa té un preu de 18 euros per persona i a cada embarcació hi aniran 25 participants i 2 instructors. L’empresa disposa de 30 embar- cacions iguals i de 75 instructors que poden fer sortides de submarinisme o excursions en barca per les cales indistintament. La seva intenció és obtenir el màxim d’ingressos suposant que omplirà totes les embarcacions. a) Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts] b) Quantes sortides de cada tipus ha d’oferir l’empresa cada dia per a obtenir el màxim d’ingressos? Quants diners ingressarà diàriament? [1,25 punts]

a) Denotem per 𝑥 el nombre de barques que faran bateigs de submarinisme i per 𝑦 el nombre de barques que faran excursions per la costa per banyar-se en cales. Les restriccions provenen de la limitació en el nombre d’instructors i d’embarcacions. El sistema d’inequacions determinat per les restriccions és: 𝑥≥0 𝑦≥0 { 5𝑥+ 2𝑦≤75 𝑥+ 𝑦≤30 La regió factible serà: I la funció objectiu és: 𝐹(𝑥, 𝑦) = 60 · 10𝑥+ 18 · 25𝑦= 600𝑥+ 450𝑦 b) Els vèrtexs de la regió factible són: 𝐴= (5,25), 𝐵= (0,30), 𝐶= (0,0) i 𝐷= (15,0). Avaluant la funció objectiu als quatre vèrtexs s’obté: 𝐹(𝐴) = 14 250, 𝐹(𝐵) = 13 500 , 𝐹(𝐶) = 0 i 𝐹(𝐷) = 9 000. Deduïm, per tant, que per obtenir el màxim d’ingressos caldria fer 5 bateigs de submarinisme i 25 excursions per la costa. Amb aquestes sortides ingressarien 14 250 euros diaris. a) Càlcul de les restriccions: 0,5 punts. Dibuix de la regió factible: 0,5 punts. Obtenció de la funció objectiu: 0,25 punts. b) Obtenció dels vèrtexs: 0,5 punts. Obtenció del punt en què s’assoleix e […]