PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 4

4. El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, és donat per la fun- ció següent: , t ≥ 0 en què t representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció. a) Quants malalts s’infectaran a la setmana 1 i quants a la setmana 2? Podem pensar que, a llarg termini, aquesta infecció desapareixerà? [1 punt] b) En quin instant es produeix el nombre màxim d’infectats per aquesta malaltia? Quin és aquest nombre? [1,5 punts]

a) Per saber el nombre d’infectats les setmanes 1 i 2 hem de calcular: 1−2+4 = 10 milers d’infectats i 𝑓(1) = 30·2 4−4+4 = 15 milers d’infectats. 𝑓(2) = Per saber què passarà a llarg termini hem de calcular el límit 30𝑡 30𝑡 𝑡2 = 0 lim 𝑡2 −2𝑡+ 4 = lim 𝑡→+∞ 𝑡→+∞ Per tant, a llarg termini, la infecció desapareixerà. b) Per trobar on s’assoleix el màxim comencem calculant la derivada de la funció 120 −30𝑡2 𝑓′(𝑡) = (𝑡2 −2𝑡+ 4)2 Si la igualem a zero obtenim com a possibles extrems 𝑡= −2 (que no té sentit en el context del problema, ja que 𝑡≥0) i 𝑡= 2. Com que 𝑓′(1) > 0, 𝑓′(3) < 0 deduïm que el màxim nombre de malalts s’obté quan han passat dues setmanes. És un màxim absolut ja que la funció creix fins a 𝑡= 2 i decreix a partir d’aquest valor. El nombre d’infectats aquella setmana és de 𝑓(2) = 15 milers de persones. a) Càlcul del nombre d’infectats la primera i segona setmanes: 0,25 punts cadascun. Càlcul del límit: 0,5 punts b) Càlcul de la derivada: 0,5 punts. Obtenció del punt on s’assolei […]