PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1

Qüestions Suma de notes parcials Responeu a QUATRE de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cada qüestió val 2,5 punts. Podeu utilitzar calculadora, però no es permet l’ús de calculadores o altres aparells que poden emmagatzemar dades o que poden transmetre o rebre informació. Podeu utilitzar les pàgines en blanc (pàgines 14 i 15) per a fer esquemes, esborranys, etc., o per a acabar de respondre a alguna qüestió si necessiteu més espai. En aquest últim cas, cal que ho indiqueu clarament al final de la pàgina de la qüestió corresponent. 1. Considereu la funció . a) Trobeu l’equació de la recta tangent a f(x) en el punt d’abscissa x = 0. [1,25 punts] b) Estudieu en quins intervals la funció f(x) és creixent i en quins és decreixent. Indiqueu-ne també els extrems relatius i digueu si són màxims o mínims. [1,25 punts]

a) El pendent de la recta tangent és 𝑓′(0). Comencem per tant calculant la derivada: 2(𝑥2+1)−2𝑥2𝑥 −2𝑥2+2 𝑓′(𝑥) = (𝑥2+1)2. = (𝑥2+1)2 Per tant, 𝑓′(0) = 2. El punt de tangència és (0, f(0)), és a dir (0, 0) i per tant l’equació de la recta tangent a 𝑓(𝑥) en 𝑥= 0 és 𝑦= 2𝑥. b) Per estudiar la monotonia de 𝑓(𝑥) estudiem el signe de la derivada. Per fer-ho, busquem els valors on la derivada pot canviar de signe que, en aquests cas, només són els punts de tall amb l’eix d’abscisses ja que és una funció contínua. Recordem que 𝑓′(𝑥) = −2𝑥2+2 (𝑥2+1)2 i per tant si imposem que s’anul·li tenim −2𝑥2 + 2 = 0 que té per solucions 𝑥= 1 i 𝑥= −1. (−∞, −1) (−1, +1) (+1, +∞) −2𝑥2 + 2 − + − (𝑥2 + 1)2 + + + 𝑓′(𝑥) − + − 𝑓(𝑥) funció decreixent funció creixent funció decreixent Per tant, la funció 𝑓(𝑥) és creixent a l’interval (-1, 1) i és decreixent a l'interval (-∞, −1) ∪(1, ∞). D'altra banda, té un mínim relatiu en el punt (−1, 𝑓(−1)) = (−1, −1) i un màxim relatiu en el punt (1, 𝑓(1)) = (1,1). a) Càlcul de l […]