PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2021 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 4

4. Suposeu que la temperatura de l’aigua del mar en una zona concreta és donada per la funció , en què x representa la fondària en metres negatius (per exem- ple, f(–5) representa el valor de la temperatura de l’aigua en graus Celsius a 5 metres de profunditat). a) Quina és la temperatura de l’aigua a la superfície? A quines profunditats la tempera­ tura és de zero graus? Cap a quin valor tendeix la temperatura quan baixem a molta profunditat? [1,25 punts] b) Calculeu a quina fondària la temperatura és més baixa i quin és el valor d’aquesta temperatura mínima. [1,25 punts]

a) La temperatura de l'aigua a la superfície serà de 𝑓(0) = 1 grau centígrad. Per saber a quines profunditats la temperatura és de zero graus hem de resoldre l'equació 𝑓(𝑥) = 0. Obtenim 𝑥2 + 5𝑥+ 4 = 0 que té dues solucions, 𝑥= −4 i 𝑥= −1. Per tant la temperatura serà de zero graus a 1 metre i a 4 metres de profunditat. Per obtenir la temperatura a molta profunditat calculem el límit següent: 𝑥2 + 5𝑥+ 4 = 1. 𝑥→−∞𝑓(𝑥) = lim lim 𝑥2 + 4 𝑥→−∞ Per tant, la temperatura límit a molta profunditat serà d'un grau centígrad. b) Per calcular a quina fondària s'obté la temperatura mínima comencem calculant la (2𝑥+5)(𝑥2+4)−2𝑥(𝑥2+5𝑥+4) −5𝑥2+20 derivada 𝑓′(𝑥) = (𝑥2+4)2 . Si igualem la derivada a zero, = (𝑥2+4)2 𝑓′(𝑥) = 0, veiem que la derivada s'anul·la en 𝑥= 2 i 𝑥= −2. Per la naturalesa del problema només té sentit 𝑥= −2. Es tracta d'un mínim perquè la derivada és negativa abans del punt 𝑥= −2 i es positiva entre 𝑥= −2 i 𝑥= 2. Si calculem 𝑓(−2) = − 4, obtenim que la temperatura mínima s'obté a dos met […]