PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2008 · Setembre · Sèrie 4 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’inequacions següent: a) Dibuixeu la regió de solucions del sistema. [1 punt] b) Una funció objectiu f(x, y) = ax + by + c pren el valor mínim en aquesta regió en el punt (4, 15/4). Digueu si també pren el valor mínim en altres punts de la regió i, si és així, determineu-los. [1 punt]

3. Considereu la regió de solucions determinada pel sistema d’inequacions següent: − ≥ − x 4 y 11 ⎫ ⎪ + ≥ x y 4 ⎪⎬ − ≤ − x 4 y 6 ⎪ ⎪ + ≤ x y 9 ⎭. a) Dibuixeu la regió de solucions del sistema. [1 punt] = + + b) Una funció objectiu f x y ( , ) ax by c pren el valor mínim en aquesta regió en el punt (4,15/4). Digueu si també pren el valor mínim en altres punts de la regió i, si és així, determineu-los. [1 punt] Solució: a) Representem les quatre rectes i la regió de solucions: Calculem els quatre vèrtexs: − = − + = ⎧ x 4 y 11 ⎫→ ⎧ x y 4 ⎫→ A : A (1,3) B : B (2,2) ⎨ ⎬ , ⎨ ⎬ , + = − = − x y 4 x 4 y 6 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ − = − + = ⎧ x 4 y 6 ⎫→ ⎧ x y 9 ⎫→ C : C (6,3) , D : D (5,4) . ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ + = − = − x y 9 x 4 y 11 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ b) El punt (4,15/4) no és cap vèrtex, però està en el segment AD que té per equació − = − ≤ ≤ amb 2 x 6 x 4 y 11 , com podem comprovar. Com el punt és un extrem de la funció objectiu, aquesta prendrà el mateix valor en tot el segment AD.