PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

3. Considereu el sistema d’inequacions següent: a) Resoleu-lo gràficament. b) Trobeu-ne totes les solucions enteres.

3. Considereu el sistema d’inequacions següent: + ≤ ⎫ x 2 y 8 ⎪ + ≥ x y 5 ⎬ ⎪ − ≤ x 5 y 0 ⎭ a) Resoleu-lo gràficament. b) Trobeu-ne totes les solucions enteres. Puntuació: Apartat 1: 0,25 punts per cada vèrtex i 0,25 punts pel gràfic; total 1 punt. Apartat 2: 0,2 punts per cada solució entera correcte; total 1 punt. Total 2 punts. Solució: Els punts d’intersecció dels costats són: ⎫ = y ⎪ + = = + = ⎧ x 2 y 8 ⎫ y 3 ⎫ ⎧ x y 5 ⎫ ⎪ → → A : B : ⎨ ⎬ ⎬ ⎨ ⎬ ⎬ + = = − = x y 5 x 2 x 5 y 0 25 ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ ⎭ ⎪ = x ⎪⎭ 8 ⎫ = y ⎪ + = ⎧ ⎫ x 2 y 8 ⎪ → C : ⎨ ⎬ ⎬ . − = x 5 y 0 40 ⎩ ⎭ ⎪ = x ⎪⎭ El gràfic de la regió factible és: 3 A(2,3) C(40/7,8/7) B(25/6,5/6) 2 4 6 8 b) Per determinar les solucions enteres fixem el mínim valor enter de y factible que és y = i posem les condicions sobre les x . Resulten: ≤⎫ ≤ ⎫ x 6 x 4 ⎪ ⎪ = ≥ → = ≥ → y 1 x 4 ⎬ (4,1) i (5,1) ; y 2 x 3 ⎬ (3,2) i (4,2) ; ⎪ ⎪ ≤⎭ ≤ x 5 x 10 ⎭ ≤ x 2 ⎫ ⎪ = ≥ → y 3 x 2 (2,3) ⎬ . Aquestes són les úniques solucions enteres. ⎪ ≤ x 15 ⎭