PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2007 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 5

PROBLEMES 5. Els beneficis mensuals d’un artesà expressats en euros, quan fabrica i ven x objec- tes, s’ajusten a la funció B(x) = –0,5x2 + 50x – 800, en què 20 x 60. a) Trobeu el benefici que obté en fabricar i vendre 20 objectes i en fabricar i ven- dre 60 objectes. b) Trobeu el nombre d’objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir el benefi- ci màxim, així com aquest benefici màxim. c) Feu un esbós del gràfic de la funció B(x). d) El benefici mitjà per x objectes és . Digueu quants objectes ha de fabricar i vendre perquè el benefici mitjà sigui màxim, i quin és aquest benefici.

PROBLEMES 5. Els beneficis mensuals d’un artesà expressats en euros, quan fabrica i ven x = − + − ≤ ≤ objectes, s’ajusten a la funció B x ( ) 0.5 x 50 x 800 , en què 20 x 60 . a) Trobeu el benefici que obté en fabricar i vendre 20 objectes i en fabricar i vendre 60 objectes. b) Trobeu el nombre d’objectes que ha de fabricar i vendre per a obtenir el benefici màxim, així com aquest benefici màxim. B x . ( ) c) Feu un esbós del gràfic de la funció B x ( ) = d) El benefici mitjà per x objectes és M x ( ) . Digueu quants objectes ha x de fabricar i vendre perquè el benefici mitjà sigui màxim, i quin és aquest benefici. Puntuació: 1 punt per cada apartat. Total: 4 punts. = = B (20) 0 € B (60) 400 € Solució: a) . . = −+ b) Trobem els extrems relatius igualant la derivada a 0. B x '( ) x 50 . Per tant x = = 50 B (50) 450 € s’obté per i el seu valor és , que òbviament és el màxim absolut ≤ ≤ a l’interval 20 x 60 . c) El gràfic és: 500 400 300 200 100 0 60 10 20 30 40 50 B x ( ) 800 = = − + − d […]