PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2019 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 2

2. Resoleu les qüestions següents: a) Considereu la matriu . Calculeu els valors de a i b per tal que es veri- fiqui la igualtat M2 + a · M + b · I = 0, en què I és la matriu identitat i és la matriu nuŀla. [1 punt] b) Considereu la matriu . Trobeu totes les matrius B que commuten amb la matriu A, és a dir, que compleixen que A · B = B · A. [1 punt]

2. Resoleu les qüestions següents: a) Considereu la matriu 𝑴= (2 5 −1). Calculeu els valors de 𝑎 i 𝑏 per tal que es verifiqui la igualtat 𝑴2 + 𝑎· 𝑴+ 𝑏· 𝑰= 𝟎, en què 𝑰 és la matriu identitat 𝑰= (1 0 1) i 𝟎= (0 0 0) és la matriu nul·la. [1 punt] b) Considereu la matriu 𝑨= (0 1 −1). Trobeu totes les matrius 𝑩 que commuten amb la matriu 𝑨, és a dir, que compleixen que 𝑨 · 𝑩 = 𝑩 · 𝑨. [1 punt] a) Comencem calculant 𝑀2: 𝑀2 = (2 −1) · (2 5 −1) = (14 5 5 11). 2 2 2 Per tant, tenim el sistema: (14 11) + 𝑎· (2 5 −1) + 𝑏· (1 5 0 1) = (0 0 0). 2 2 0 0 Que ens dona el sistema d’equacions següent: 14 + 2𝑎+ 𝑏= 0 5 + 5𝑎= 0 { 2 + 2𝑎= 0 11 −𝑎+ 𝑏= 0 Tant de la segona com de la tercera equacions deduïm que 𝑎= −1, i substituint el valor de 𝑎, tant a la primera com a la quarta equació, obtenim que 𝑏= −12. b) Hem de trobar els valors de 𝑥, 𝑦, 𝑧 i 𝑡 per als quals es compleix que −1) · (𝑥 𝑦 𝑡) = (𝑥 𝑦 (0 1 𝑡) · (0 1 −1). 𝑧 𝑧 1 1 Si fem els dos productes cal que es compleixi la igualtat: 𝑧 𝑡 𝑦−𝑡) = (𝑦 𝑥−𝑦 ( 𝑧−𝑡). […]