PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

Exercici 1 Puntuació total de l’exercici 1 [2,5 punts en total] Un metge comença a fer divulgació sobre salut a les xarxes socials. A mesura que publi- ca continguts relacionats amb aquest tema, observa un augment en el nombre de seguidors. En un moment determinat grava un vídeo polèmic i perd un petit nombre de seguidors, però al cap d’uns dies en publica un altre que té molt d’èxit i, a partir d’aleshores, el nombre de seguidors torna a créixer. La funció que descriu el nombre de seguidors en funció del temps t, mesurat en setmanes, és f(t) = 10t3 – 120t2+ 450t + 700, t ∈ [0, 10]. 1.1. Quants seguidors té a l’inici? Quants en té al cap de 10 setmanes? Estudieu els intervals de creixement i decreixement de la funció i determineu-ne els extrems locals. Feu un esbós de la gràfica utilitzant la informació obtinguda. Puntuació de l’apartat 1.1 1.2. Quina setmana penja el vídeo polèmic i quants seguidors té en aquell moment? Quina setmana penja el vídeo que té molt d’èxit? Al llarg de les 10 setmanes, en quin moment té més seguidors? Puntuació de l’apartat 1.2

1. 1.1. Com que 𝑓(0) = 700 i 𝑓(10) = 3.200, a l’inici té 700 seguidors i al cap de 10 setmanes en té 3.200. Comencem calculant la derivada de la funció 𝑓′(𝑡) = 30𝑡2 −240𝑡+ 450 = 30(𝑡2 −8𝑡+ 15). Igualant la derivada a zero s’obtenen dues solucions, 𝑡= 3 i 𝑡= 5. Com que la derivada és contínua per estudiar el creixement i el decreixement, només hem d’estudiar el signe de la derivada en aquests intervals: (0,3) 𝑡= 3 (3,5) 𝑡= 5 (5,10) 𝑓′ > 0 𝑓′ = 0 𝑓′ < 0 𝑓′ = 0 𝑓′ > 0 𝑓↗ 𝑓↘ 𝑓↗ Per tant, concloem que la funció 𝑓 és creixent en els intervals (0,3) ∪(5,10) i que és decreixent en l’interval (3,5). D’altra banda, veiem que la funció té un màxim local al punt (3, 𝑓(3)) = (3, 1240) i un mínim local al punt (5, 𝑓(5)) = (5,1200). Un esbós de la gràfica és: 1.2. A partir de la informació obtinguda en l’apartat anterior, veiem que el vídeo polèmic el va penjar a la setmana 3 i en aquell moment tenia 1.240 seguidors. El vídeo que té molt èxit el penja a la setmana 5. Clarament, el moment en què té mé […]