PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2026 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

Exercici 3 Puntuació total de l’exercici 3 [2,5 punts en total] Una empresa de telecomunicacions considera que una pàgina web és eficient si el seu temps de càrrega és inferior a 3 segons. L’empresa afirma que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients. Per comprovar aquesta afirmació, seleccionem una mostra aleatòria de n = 2.500 pàgines web gestionades per aquesta empresa. Fórmules per a resoldre l’exercici: • Z ∼ normal (0, 1) → P(–1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 0,95 i P(–2,58 ≤ Z ≤ 2,58) = 0,99 • Intervals de confiança amb un nivell de confiança γ ∈ (0, 1) — per a la proporció (mostres grans): 3.1. Suposem que, cada vegada que seleccionem una pàgina web per a la mostra, aquesta pot ser eficient (o no ser-ho) amb una probabilitat p = 0,5 i que el fet que una pàgina sigui eficient (o no) és independent del fet que la resta de pàgines ho siguin (o no). Considerem la variable aleatòria X, que compta el nombre de pàgines, d’entre les 2.500 de la mostra, que són eficients. Quina distribució té la variable X? Calculeu la probabilitat que com a molt 1.299 pàgines siguin eficients. Per a fer-ho, utilitzeu l’aproximació per la distribució normal sense fer la correcció per continuïtat. Puntuació de l’apartat 3.1 [1,25 punts] 3.2. En la mostra de n = 2.500 pàgines web, hem obtingut una mitjana mostral del temps de càrrega de x– = 2,95 segons i una desviació típica mostral de s = 0,38 segons. Suposeu que el temps de càrrega de les pàgines web segueix una distribució normal Construïu un interval de confiança del 95 % per al temps mitjà de càrrega de les pàgines web que gestiona l’empresa. A partir de l’interval obtingut, què podem dir sobre l’afirmació de l’empresa que almenys el 50 % de les pàgines web que gestiona són eficients? Puntuació de l’apartat 3.2

3. 3.1. Anomenem 𝑥 al nombre de pàgines web eficients d’entre les 2.500 de la mostra. Si les dades de l’empresa són correctes, aquesta variable seguirà una distribució binomial de paràmetres 𝑛= 2500 i 𝑝= 0,5. Per tant, 𝑥∼Binomial (𝑛= 2500, 𝑝= 0,5). Volem calcular 𝑃(𝑥≤1299). La distribució binomial es pot aproximar per una normal quan 𝑛 és gran i 𝑝 no és massa propera a 0 o 1. Concretament es pot aproximar per una normal de mitjana 𝑛𝑝 i variància 𝑛𝑝(1 −𝑝). Observem que 𝑛𝑝= 2500 · 0,5 = 1250 i 𝑛𝑝(1 −𝑝) = 2500 · 0,5 · (1 −0,5) = 625 Per tant, la variable 𝑥 es pot aproximar per una 𝑁(1250, 625). Aleshores, si anomenem 𝑍 a la distribució 𝑁(0,1), la 𝑃(𝑋≤1299) es pot aproximar de la següent manera: 𝑃(𝑋≤1299) ≈𝑃(𝑍≤1299 −1250 ) = 𝑃(𝑍≤1.96) √625 Sabem que 𝑃(−1,96 ≤𝑍≤1,96) = 0,95 i, per tant, per la simetria de la distribució normal, 𝑃(𝑍≤1.96) = 0,975. Per tant, si les dades de l’empresa són correctes, la probabilitat que com a molt 1.299 pàgines de la mostra siguin eficients és aproximadament de […]