PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2023 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. El nombre de kilograms de menjar que han gastat en un alberg d’animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció , en què t és el temps en dies i va des del dia t = 1 (dilluns) fins al dia t = 8 (dilluns de la set- mana següent). a) Calculeu quants kilograms de menjar es van gastar el primer dilluns i el dilluns següent. Trobeu quin dia d’aquella setmana es van gastar 100 kg de menjar. [1 punt] b) Determineu els dies de la setmana en què la despesa en menjar va ser més gran i els dies en què va ser més petita. Quants kilograms de menjar es van gastar aquests dies? [1,5 punts]

a) Comencem calculant els quilos de menjar que es van gastar els dos dilluns: 𝑓(1) = 10 (−13 8 + 3 · 12 −9 · 1 + 10) = 550 = 275 = 68,75 kg 2 2 8 4 𝑓(8) = 10 (−83 8 + 3 · 82 −9 · 8 + 10) = 60 kg 2 2 Ara hem de trobar quin dia es van gastar 100 kg de menjar: 𝑡3 3𝑡2 𝑡3 3𝑡2 9𝑡 9𝑡 2 + 10) = 100 → − 2 + 10 = 10 10 (− 8 + 2 − 8 + 2 − → −𝑡3 8 + 3𝑡2 2 −9𝑡 2 = 0 → −𝑡3 + 12 𝑡2 −36 𝑡= 0 → −𝑡(𝑡2 −12 𝑡+ 36 ) = 0 → −𝑡 (𝑡−6)2 = 0 → 𝑡= 0 i 𝑡= 6 Com que 𝑡 = 0 no és del domini d’aquesta funció, la solució és 𝑡= 6, és a dir, el dissabte es van gastar 100 kg de menjar. b) Per buscar els extrems relatius de 𝑓(𝑡), cal igualar a zero la derivada: 𝑓′(𝑡) = 10 (−3𝑡2 8 + 3t − 9 2) = 0 →3𝑡2 −24𝑡+ 36 = 0 →𝑡2 −8𝑡+ 12 = 0 → (𝑡−6) · (𝑡−2) = 0 →𝑡= 6 i 𝑡= 2 Ara cal comprovar quin és el màxim i quin és el mínim: 1 (1, 2) 2 (2, 6) 6 (6, 8) 8 𝑓‘(𝑡) - 0 + 0 - 𝑓(𝑡) 68,75 kg Decreix. Mínim Creix. Màxim Decreix. 60 kg (2, 60) (6, 100) 23 3·22 9·2 2 + 10) = 60 𝑘𝑔. 𝑓(2) = 10 (− 8 + 2 − Els dies que la despesa en menjar va ser m […]