PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2019 · Setembre · Sèrie 5 · Exercici 5

5. Considereu una funció f (x) que té com a primera derivada f′(x) = 2x2 + bx + 4, en què b és un paràmetre real. a) Determineu el valor de b perquè f (x) tingui un extrem relatiu en x = –1 i raoneu si es tracta d’un màxim o d’un mínim. [1 punt] b) Si sabem que la gràfica de la funció f (x) passa pel punt (0, 3), trobeu l’equació de la recta tangent a f (x) en aquest punt. [1 punt]

5. en què b és un paràmetre real. a) Determineu el valor de 𝑏 perquè 𝑓(𝑥) tingui un extrem relatiu en 𝑥 = – 1 i raoneu si es tracta d’un màxim o d’un mínim. [1 punt] b) Si sabem que la gràfica de la funció 𝑓(𝑥) passa pel punt (0, 3), trobeu l’equació de la recta tangent a 𝑓(𝑥) en aquest punt. [1 punt] a) Sabem que en 𝑥= −1 hi ha un extrem relatiu; per tant, 𝑓′(−1) = 0. D'altra banda, 𝑓′(−1) = 2 −𝑏+ 4 = −𝑏+ 6, i, consegüentment, trobem que 𝑏= 6. Per tant, tenim que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 6𝑥+ 4. Si estudiem on és positiva i on es negativa la funció 𝑓′(𝑥), obtenim que és positiva en els intervals (−∞, −2) i (−1, +∞), mentre que és negativa en l’interval (−2, −1). Per tant, en 𝑥= −1 hi ha un mínim relatiu. b) El pendent de la recta buscada és 𝑓′(0). Sabem que 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑏𝑥+ 4 i, per tant, 𝑓′(0) = 4. La recta tangent en el punt (0,3) és 𝑦−3 = 4(𝑥−0), és a dir, 𝑦= 4𝑥+ 3. d’un mínim: 0,5 p. b) Determinació del pendent: 0,5 p. Determinació de la recta tangent: 0,5 p.