PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2013 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 5

5. Segons uns estudis de laboratori, l’evolució de la població en un cultiu de bacteris al llarg del temps segueix la funció f(t) = 30 · (1 – e–t) + 10, on t són els dies que han transcorregut des de l’inici de l’experiment, i f(t) és la població, en milions de bacteris. a) Quina població hi ha en el moment de començar l’experiment? Justifiqueu si en algun moment hi arribarà a haver 40 milions de bacteris. [1 punt] b) Hi haurà algun moment en què la població sigui màxima? Justifiqueu la resposta. [1 punt]

5. Segons uns estudis de laboratori, l’evolució de la població en un cultiu de ( ) = ⋅ − − + f(t) 30 1 e t 10 bacteris al llarg del temps segueix la funció , on t són els dies que han transcorregut des de l’inici de l’experiment, i f(t) és la població, en milions de bacteris. a. Quina és la població en el moment de començar l’experiment? Justifiqueu si en algun moment s’arribarà a tenir 40 milions de bacteris. [1 punt] b. Hi haurà algun moment en què la població sigui màxima? Justifiqueu la resposta. [1 punt] a. f(0) = 10. En el moment de començar l’experiment hi ha una població de 10 milions de bacteris. Hi ha dos raonaments vàlids per a aquesta resposta: ( ) − − − ⋅ − t + = →− t = → t = 30 1 e 10 40 1 e 1 e 0 1r. , que és impossible. = 2n. tlimf(t) 40 i En ser f estrictament creixent (caldria calcular la derivada →∞ en aquest apartat) i tenir asímptota horitzontal, no pot tallar-la − = ⋅ > t b. Com s’ha indicat abans, 0 . Per tant, la població no f'(t) 30 e deixarà de créixer.