PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2007 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 4

4. Trobeu a, b i c.

3 2 4. La funció f x ( ) ax bx cx té un extrem relatiu en el punt (1,4) i passa pel punt (3,0). Trobeu , , a b c . Puntuació: Plantejament 1 punt; solució 1 punt. Total 2 punts. = + + f '( ) x 3 ax 2 2 bx c Solució: a) La funció derivada és . L’extrem relatiu en el punt + + = a b c 4 (1,4) dóna dues condicions: passa pel punt i per tant , i la derivada val 0 i + + = + + = per tant 3 a 2 b c 0 . Com que també passa pel punt (3,0) resulta 27 a 9 b 3 c 0 , + + = i simplificant-la 9 a 3 b c 0 . Escrivim la matriu ampliada del sistema i reduïm per Gauss: ⎛ 1 1 1 | 4 ⎞ ⎛ 1 1 1 | 4 ⎞ ⎛ 1 1 1 | 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → − − − → 3 2 1 | 0 0 1 2 | 12 0 1 2 | 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − 9 3 1 | 0 0 3 2 | 0 0 2 4 | 36 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ d’on obtenim = ⎧ c 9 ⎪ = − = − b 12 18 6 ⎨ ⎪ = −+ = a 4 9 6 1. ⎩ = − + f x ( ) x 3 6 x 2 9 x La funció és doncs, . = 2 − + f '( ) x 3 x 12 x 9 Nota: La funció derivada és i la derivada segona és = − = = = −. Per tant, la funció té un f ''( ) x 6 x 12 f (1) 4 f '(1) 0 f ''(1) 6 […]