PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2006 · Juny · Sèrie 3 · Exercici 4

4. Considereu la funció: 2x + 2, si x ≤ 0 { f (x) = x2 – 3x + 2, si x > 0. a) Dibuixeu la gràfica. b) Estudieu-ne la continuïtat. . c) Determineu els extrems relatius. Puntuació: a) 1 punt; b) 0,5 punts; c) 0,5 punts. Total: 2 punts.

4. Considereu la funció + ≤ ⎧ 2 x 2, si x 0 = ⎨ f x ( ) 2 − + > x 3 x 2, si x 0 ⎩ a) Dibuixeu la gràfica. b) Estudieu la continuïtat. c) Determineu els extrems relatius. Puntuació: a) 1 punt; b) 0.5 punt; c) 0.5 punts. Total 2 punts. Solució: a) La gràfica de la funció és la recta de pendent 2 i ordenada a l’origen 2 per x ≤ x > = 2 0 0 y x traslladada de tal manera que talla l’eix x per , i per la paràbola x = i x = 1 2 , que són les arrels i a l’eix y en el punt (0,2). Així tenim + = −= b) Tenim f (0 ) 2 i f (0 ) 2 . Per tant la funció és contínua en tots els punts. x = c) Tenim un màxim relatiu en el punt (0,2), perquè en un entorn de 0 la funció pren valors menors que 2 tret del punt (0,2). El mínim relatiu s’obté igualant la derivada ⎛ ⎞ a 0, i resulta ser 3 1 − , . ⎜ ⎟ ⎝ 2 4 ⎠