PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2005 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 5

5. Considereu la funció f(x) = . 1 + x2 a) Calculeu l’equació de la recta tangent a la corba que representa f(x), en el punt d’abscissa x = 2. b) Quina és la funció que dóna el pendent de la recta tangent en cadascun dels punts de la corba? c) Calculeu el punt de la corba que representa f(x) en el qual el pendent de la recta tangent és màxim. Trobeu el valor d’aquest pendent màxim. Puntuació: apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt; apartat c) 2 punts. Total: 4 punts.

PROBLEMES 5. Considereu la funció f x ( ) . = + 1 x a) Calculeu l'equació de la recta tangent a la corba que representa f x en el punt ( ) d'abscissa x = 2 . b) Quina és la funció que dóna el pendent de la recta tangent en cadascun dels punts de la corba? f x en el qual el pendent de la ( ) c) Calculeu el punt de la corba que representa recta tangent és màxim. Trobeu el valor d’aquest pendent màxim. Puntuació: Apartat a) 1 punt; apartat b) 1 punt; apartat c) 2 punts. Total: 4 punts. x = 2 f (2) Solució: a) El valor de la funció en és = . La funció derivada és 2 x 4 f '( ) x f '(2) = − . Per tant, = − . Així, la recta tangent té per equació: ( ) 25 1 x + 1 4 ( y x 2) o bé 4 x 25 y 13 0 − = − − + − = . 5 25 2 x b) Es tracta de la funció derivada ja calculada f '( ) x . = − ( ) 1 x + f '( ) x i c) Per trobar en quin punt el pendent és màxim hem de calcular la derivada de igualar-la a 0. 2 2 2 2(1 x ) 8 x 6 x 2 − + + − f "( ) x . El signe de f "( ) x coincideix amb el del seu = = 3 3 ( ) ( […]