PAU Matemàtiques aplicades a les ciències socials 2005 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 3

3. Calculeu a i b de manera que f(x) = a ln(x) + bx2 + x tingui extrems relatius en els punts d’abscisses x = 1 i x = 2, i digueu, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un mínim. Puntuació: càlcul de a i b 1 punt; determinació del caràcter 1 punt. Total: 2 punts.

3. Calculeu a i b de manera que f x ( ) a ln( ) x bx x tingui extrems relatius en = + + els punts d'abscisses x = i 1 x = 2 , i esbrineu, en cada cas, si es tracta d’un màxim o d’un mínim. Puntuació: Càlcul de a i b 1 punt; determinació del caràcter 1 punt. Total 2 punts. a x = i 1 x = 2 f '( ) x 2 bx 1 Solució: Si ha de tenir extrems en , la funció derivada = + + x ha de ser nul·la en aquests punts. Per tant: 0 f '(1) a 2 b 1 = = + + a 0 f '(2) 4 b 1 = = + + 2 1 a = − b = − d’on resulta: , . D’aquí obtenim 3 6 2 x 2 1 f '( ) x + i 1 f "( ) x . = − − = − 3 x 3 3 x 3 2 1 1 f "(1) 0 x = 1 f x té un mínim . Anàlogament: ( ) Per tant = − = > , i en 3 3 3 2 1 1 f "(2) 0 x = 2 f x té un màxim . ( ) = − = − < , i en 12 3 6