PAU Física 2023 · Juny · Sèrie 5 · Exercici 1

P1) El Premi Nobel de Física de l’any 2020 es va concedir a tres científics: Andrea Ghez, Reinhard Genzel i Roger Penrose (Ghez és la quarta dona de la història que aconsegueix un Nobel de Física). En concret, Ghez i Genzel van ser guardonats per les seves deduc- cions sobre Sagitari A* (el forat negre supermassiu del centre de la Via Làctia) a partir de l’observació de les òrbites d’estels propers. La gràfica adjunta mostra la intensitat del camp gravitatori provocat per Sagitari A* en funció de la distància. a) Al voltant de Sagitari A* hi orbita una estrella anomenada S2. Quin és el mòdul de la velocitat d’aquesta estrella quan es troba a una distància de 3,00 × 1013 m? [1,25 punts] b) Calculeu la massa de Sagitari A*. A quantes masses del Sol equival? Com que Sagitari A* és un forat negre, fins a una certa distància d’ell la velocitat d’escapament de Sagitari A* és superior a la velocitat de la llum. Calculeu a partir de quina distància aquesta velocitat d’escapament és menor que la velocitat de la llum. Cal deduir la velocitat a partir de consideracions energètiques. [1,25 punts] Nota: Podeu negligir els efectes relativistes i podeu suposar que la llei de la gravita - ció universal és vàlida. Dades: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. M Sol = 1,99 × 10 kg. c = 3,00 × 108 m s–1.

0,25 p Del gràfic g = 0,6 m/s2. La segona llei de Newton estableix que: 0,1 p. 𝐹⃗= 𝑚𝑆2𝑎⃗ I, la acceleració centrípeta de S2 és: 0,1 p 𝑎= 𝑣2 𝑟 La força gravitatòria s’expressa com: 0,4 p 𝐹= 𝑚𝑆2𝑔 0,3 p 𝑣2 Per tant obtenim que: 𝑟= 𝑔= 0,6 m/s2 0,1 p I finalment: 𝑣= √𝑟𝑔= 4,24 × 106 m/s b) 0,25 p Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força s'expressa com: 𝐹= 𝐺 𝑚𝑆2𝑀𝐴∗ 𝑟2 i 𝐹= 𝑚𝑆2𝑔 Per tant obtenim que: 0,25 p 𝑔= 𝐺 𝑀𝐴∗ 𝑟2 = 0,6 m/s2 0,25 p 𝑀𝐴∗= 𝑔 𝑟2 𝑀𝑆𝑜𝑙 𝐺= 8,10 × 1036 kg 1,99 × 1030 kg = 4,07 × 106𝑀𝑆𝑜𝑙 0,25 p El càlcul de la velocitat d’escapament es basa en el principi de conservació de l’energia mecànica. Per escapar cal que l’energia mecànica sigui igual a la de l’infinit que és 0: 𝐸𝑚(a una distància 𝑟 de Sagitari A*) = 0 1 mM       E E E 0 mv G A * 0 m c p esc 2 r 0,25 p      11 36 1 mM 2 GM 2 ,6 67 10 ,8 10 10       mv 2 G r ,1 20 10 10 m A * A *   esc 2 2 2 r v  8 ,3 00 10 esc